Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решёток

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 2 (2010)
УДК 511.9.
РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ДЕКАРТОВЫХ РЕШЁТОК1
М. Н. Добровольский (г. Москва)
Аннотация
В данной работе получено функциональное уравнение для дзета-функции произвольной декартовой решётки. Ранее аналогичный результат автор получил относительно дзета-функции и гиперболической дзета-функции только для произвольной целочисленной решетки ([8], [9]).
1 Необходимые сведения о решетках
Сначала напомним некоторые определения.
Определение 1. Пусть А1,…, т, т ^ в — линейно независимая система, векторов из. Множество Л всех векторов вида а1А1 +… + атАт, где 1 ^ г ^ т независимо пробегают все целые числа, называется т-мерной решёткой в Ж3, а векторы А1-…, Ат — базисом, этой решётки.
Если т = в, то решётка называется полной, в противном случае — неполной. В этой работе под решётками понимаются полные решётки. Очевидно, что Ъ3
— решётка, её ещё называют фундаментальной решёткой.
Пусть Л произвольная целочисленная решетка в Ж3, т, е, Л подрешетка фундаментальной решетки Ъ3, тогда
Л = {т1А1 + … + т3А3|т1-…, т3 € Ъ] и А1,…, А3 — линейно независимая система целочисленных векторов.
Определение 2. Для решётки Л взаимной решёткой Л* называется, множество 2
Л* = {у IV х € Л (у, х) € Ъ ]. (1)
1Работа выполнена по гранту РФФИ 08−01−790
23десь и далее скалярное произведение (у, х) = ух + … + уяхя.
Очевидно, что взаимная решётка Л* для решётки Л задается взаимным базисом А*,…, А*, определяемым равенствами
А* Л
г3
1 при і = О при і =
(2)
Нетрудно видеть, что фундаментальная решётка Ъ3 совпадает со своей взаимной решёткой и является подрешёткой взаимной решётки любой целочисленной решётки. Кроме того, если Л1 С Л С Ъ3, то Ъ3 С Л* С Л*- для любо го С = 0
имеем (СЛ)* = Л*/С, Для любой решётки справедливо равенство для детерминантов решёток: detЛ* = ^е^)-1.
Остановимся на понятии декартовой решетки и приведем без доказательства необходимые факты из [2].
Определение 3. Простой декартовой решёткой называется сдвинутая решётка Л + X вида
Л + X = (^ ¦ Ъ + х1) х (?2 ¦ Ъ + х2) х … х (?3 ¦ Ъ + х3), где^ = 0 = 1,…, в).
Другими словами, если сдвинутая решётка Л + X — простая декартова решётка, то она получается из фундаментальной решётки растяжением по осям с коэффициентами ^,…, ?3 и сдвигом на вектор X
Определение 4. Декартовой решёткой называется, сдвинутая решётка, представимая, объединением, конечного числа простых декартовых решёток.
Определение 5. Декартовой решёткой называется, сдвинутая решётка, у которой найдется сдвинутая подрешётка, являющаяся простой декартовой решёткой.
Теорема 1. Определения 4 и 5 эквивалентны.
Теорема 2. Любой сдвиг рациональной решётки является, декартовой решёткой.
Две решётки Л и Г называются подобными, если Г = ?(^,…, 4) ¦ Л
где
к = тЖ'--'-І
(& lt-1 … О
Г,
?(^і,…, 4)
а
О
— произвольная диагональная матрица, 11 ¦ … ¦ 13 = 0.
Множество всех невырожденных вещественных диагональных матриц порядка 5 будем обозначать
ДДЕ) = {0(1Ь…, 4) | 4 ¦ … ¦ (13 = 0}.
Относительно операции матричного умножения 03(М) — мультипликативная абелева группа.
Множество всех унимодулярных вещественных диагональных матриц 0и3(К) является подгруппой группы 03(М), Кроме того,
03(Е) = 0и3(Е) х Е+,
где изоморфизм ^ между 03(М) и прямым произведением 0и3(К) х М+ устанавливается по правилу
^(0(1Ь …, 13)) =
в (^ =,…, ,& lt-/|^1-… -4
yZdi • • • • • 4| fdi • • • • • 4|)
Обозначим через 0М3)?(1) множество всех диагональных матриц 0(11,…, 13) с
||°(11,…, 13)| ^ е,
а через ОМ*?(М) — множество всех диагональных матриц 0(11-…, 13) с
||0(1Ь…, 13)|| ^ е, и
Так как 0М3* ?(К) — компактное подмножество множества М3* е (Е), а Т3(0,е)
— компактное подмножество тора, то для любой сдвинутой решётки Л + X ее замкнутая е — окрестность траектории 03(М) ¦ (Л + X) при достаточно малом е будет полным метрическим пространством.
Теорема 3. Произвольная декартова решётка подобна сдвинутой целочисленной решётке.
Л
Ъ
Л
Л
Л
существует единственное представление
Л = 0(^1,… ,?,) ¦ Ло, *1,… ,*3 & gt- 0, (3)
где Л0 — простая решётка.
Дадим следующее определение,
Л
О (с?) ¦ Z3 называется минимальной, если, для, любой декартовой подрешётки 0(4) ¦ Z3 решётки Л выполнены соотношения,
Если минимальная декартова подрешётка существует, то ее определитель будет минимальным среди всех определителей декартовых подрешёток решётки Л
Л
лъная декартова, подрешётка.
Обозначим через М* (Л) множество точек решётки Л, попавших в полуоткрытый 5 — мерный куб [0^е1Л)3, таким образом для любой целочисленной решётки Л множество М* (Л) является полной системой вычетов решётки Л по подрешётке ёе1 Л ¦ Z3,
Докажем следующую теорему о разбиении произвольной декартовой решетки Л + X па простые декартовые решетки.
Теорема 7. Для, любой декартовой решётки Л+X существует единственная, простая реш, етка, Л0 такая, что решетка Л подобна простой решетке Л0 с диагональной матрицей 0(^1,…, ?3). Справедливо разбинение на непересека-ющиеся, декартовы, подрешётки:
где X = 0(?ь…, ?3) ¦ ?.
Л
решёткой, то по теореме 5 имеет место единственное представление (3) с одно-
Л0
Так как простая решётка разбивается на непересекающиеся классы вычетов по подрешётке ёе1 Л0 ¦ Z3:
Л э 0(1) ¦ Z3 э 0(11) ¦ Z3.
(ёе1 Л0 ¦ Z3 + у),
(5)
УеМ *(Ло)
то из (3) и (5) следует утверждение теоремы.
2 Гиперболическая дзета-функция решётки
Рассмотрим произвольную решётку Л С К3, 5 ^ 2.
Л
функция (я (Л|а), а = а + И, задаваемая при, а & gt- 1 абсолютно сходящимся рядом
(я (Л|а) = ^ (х1 ¦ … ¦ х3)-«, (6)
Х еЛ
где ^2'- означает, что из суммирования исключен X = 0, а для всех вещественных значений X полагаем, X = тах (1, 1×1).
Определение 9. Обобщенной гиперболической дзета-функцией решётки Л
называется, функция (я (Л + Ъ сходящимся рядом
а у, а = а+И, задаваемая при, а & gt- 1 абсолютно
(я (Л + Ъ а) = ^ (Х1 ¦ … ¦ Х3)-а. (7)
х ел+ь
Как обычно через N (X) = |х1 … х3| будем обозначать мультипликативную норму вектора X. Она отлична от нуля только для точек общего положения, т. е, точек, не имеющих нулевых координат. Используя мультипликативную норму, дадим новые определения.
Л
((Л|а), а = а + й, задаваемая при, а & gt- 1 рядом
С (Л|а) = ^ |Х1 ¦ … ¦ Х3|-а. (8)
Х еЛ, N (Х)=0
Вообще говоря, дзета-функция решётки существует не для всякой решётки Л, так как соответствующий рад может расходиться для любого значения, а = а + й, но для произвольной декартовой решётки Л она очевидно существует а& gt-1
Нетрудно видеть, что гиперболическая дзета-функция целочисленной ре-ЛЛ дзета-функций соответствующих целочисленных решёток меньших размерностей, которые получаются отбрасыванием нулевых координат. Более точно это утверждение будет приведено далее в тексте работы.
Заметим, что гиперболическая дзета-функция не является однородной, как функция решётки, а дзета-функция решётки является.
с (Т ¦ Л|а) = Т-3аС (Л|а), С (0(*1, …, *3) ¦ Л|а) = (*1… (Л|а).
Определение 11. Обобщенной дзета-функцией решётки Л называется функция ((Л + Ъ
а у, а = а + И, задаваемая при, а & gt- 1 рядом,
((л + Ъ а) = ^ |х1 ¦ … ¦ Х31-а. (9)
Х еЛ+Ь, N (Х)=0
При получении функционального уравнения гиперболической дзета-функции использовался новый подход. Если ранее для доказательства существования аналитического продолжения гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки использовалось только разложение целочисленной решётки Л то подрешётке detЛ ¦ Z3 и затем функциональное уравнение Гурвица, то теперь использовались тригонометрические суммы решётки, что позволило использовать известные свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, Кроме этого необходимо отметить, что понятие дзета-функции решётки позволяет упростить рассуждения и формулы.
3 Сетки и тригонометрические суммы решёток
Для реализации этого подхода приведем необходимые сведения о тригонометрических суммах решётки.
Через С3 = [0- 1)3 будем обозначать-мерный полуоткрытый куб. Под сеткой мы понимаем произвольное непустое конечное множество М из С3, Под сеткой с весами будем понимать упорядоченную пару (М, р), где р — произ-
ММ с упорядоченной парой (М, 1), т. е, с сеткой с единичными весами: р = 1,
Определение 12. Произведением двух сеток с весами (М1,р1^ (М2,р2) из С3 называется сетка с весам, и (М, р):
М = {{х + У}| х е М1, у Е М2 }, р (у) = ^ р1(х)р2(у),
{Х+у} = г,
ХеМх, г/ еМ2
где {у} = ({^1},…, {^3}).
Произведение сеток с весами (Мьр^ и (М2, р2) обозначается через (М1,р1) ¦ (М2,р2). Кроме этого, если (М, р) = (М1,р1) ¦ (М2,р2), то будем писать М = М1 ¦ М2 М М1 М2
(М, р)
и произвольного целочисленного вектора т называется, выражение
Б (т, (М, р)) = ^ р (Х)е2пг (т'Х). х ем
Легко видеть, что для любых сеток с весами (Мьр^ и (М2,р2) справедливо равенство
Б (т, (М1,р1) ¦ (М2,р2)) = Б (т, (М1,р1)) ¦ Б (т, (М2,р2)). (10)
Определение 14. Если справедливо равенство
(М, 1) = (М1,1) ¦ (М2,1),
М1 М2
Таким образом, если М1 и М2 — взаимно простые сетки, то равенство г = {X + у} имеет не более одного решения для X € М1 и у € М2. Поэтому для взаимно простых сеток и только для них справедливо равенство |М1 ¦ М2| = |М1| ¦ |М2|.
При р = 1 приходим к определению тригонометрической суммы сетки.
М
целочисленного вектора т называется величина,
Б (т, М) = ^ е2пг (т'Х).
х ем
М1 М2
равенство
Б (т, М1 ¦ М2) = Б (т, М1) ¦ Б (т, М2). (11)
Рассмотрим для произвольной целочисленной решётки Л, целого вектора т и произвольного вектора X из взаимной решётки Л* величины:
«(п) = Г 1, если т € Л, .* (Х) = Г 1, если X € Z3,
дл (т) = | 0, если т е Z3 Л, дл (х) = 0, если X € Л* Z3.
Символ? л (т) является многомерным обобщением известного теоретикочислового символа Коробова
«() = Г 1, если т = 0 (mod N),
N (т) | 0, если т = 0 (mod N).
М (Л)
вается, множество М (Л) = Л* П С3.
Л
М (Л) Л*
тальной подрешётке Z3, Отсюда следует равенсто |М (Л)| =
= det Л.
Определение 17. Полной линейной кратной тригонометрической суммой
Л
Кт, Л)=? е2™(т, х) = ^ е-
г-& gt-2пг (гт, Х)
е
х ем (Л) х ел*^3
т
М (Л)
равенство Б (т, М (Л)) = з (т, Л),
Определение 18. Полной линейной кратной тригонометрической суммой Л* Л
N
5* (X, Л)=? е2™(т'х) = ^ е2™(т'Х),
т е Zs /Л j = 1
где X — произвольный вектор взаимной решётки Л* и т 1,…, тN — полная си, стем, а, вычетов решётки Z3 по подрешётке Л.
Справедливы следующие двойетвеннные утверждения.
Теорема 8. Для з (т, Л) справедливо равенство
з (т, Л) = ?Л (т) ¦ detЛ.
Доказательство. Для любого т € Л и любо го X € М (Л) имеем (т, X) € Z, поэтому
5(т, Л) = ^ е2пг (т'х) = ^ 1 = detЛ.
х ем (Л) х ем (Л)
Если т € Л. то найдется у € М (Л) такой, что (т, у) € ^ етачит, е2пг (т:^ = 1,
Отсюда и из свойств полной системы вычетов решётки относительно подрешёт-
ки получим
5(т, Л) = ^ е2™(т, Х) = ^ е2пг (т, х+?/) = е2пг (т,?/)5(т, Л).
х ем (Л) х ем (Л)
Следовательно,
(е2пг (т'?/) -1)5(т, Л) = 0, 5(т, Л) = 0.
?
Теорема 9. Для любой целочисленной решётки Л с detЛ = N и для, произвольного X € Л* справедливо равенство
5*(Х, Л) = $Л (X) ¦ detЛ.
Доказательство. Если X € Zs, то е2пг (х'т) = 1 и утверждение очевидно.
Если Л С Zs и Л = Z'-s, то Л* Zs = 0 и для люб ого X € Л* Zs найдется ш € Zs такой, что (X, ш) € Z. Отсюда и из определения полной системы вычетов следует, что найдется такое, что (X, гп,^0) € е. е2пг (х'т'-о) = 1, Далее из
свойств полной системы вычетов и определения взаимной решётки следует, что
N N
5*(Х, Л) = ^ е2пг (Х'т'-) = ^ е2™(х'т +™0) = е2™(г'т*& gt-)5*(Х, Л)
. ?=1 .? = 1
и, следовательно,
з*(Х, Л) = 0.
?
4 Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами
В дальнейшем будет использоваться периодизированная по параметру Ь дзета-функция Гурвица
С*(а-Ь) = ^ (п + Ь)-«, (^ & gt- і) —
0& lt-га+6
Нетрудно выписать различные явные формулы для аналитического продолжения на всю комплексную плоскость кроме точки, а = 1 периодизированной
Ь
риодизированная дзета-функции Гурвица имеет полюс первого порядка с вычетом равным 1. Приведенные ниже формулы покрывают всю комплексную плоскость, задавая явный вид аналитического продолжения (*(а- Ь).
Е (n + b)'-
0& lt-n+b
+ - а (а + 1) J 2ха+2
С*(а- b) = & lt-
+
а & gt- і, {b} = 0, а& gt--і, — а (а + 1) J. {6}/0,& lt-г>--1,
(12)
2(2ir)"-1r (l-a) sin f? ajfe* +cos ш? ajfei! _ a & lt-0.
Рассмотрим частный случай рядов Дирихле с периодическими коэффициентами вида,
b
2−7гг — Є n
m=1
ma
(а & gt- і)
(13)
и докажем для этого ряда Дирихле в нужной для дальнейшего форме частный случай общей теоремы (см, [7, с, 88]) об аналитическом продолжении рядов Дирихле с периодическими коэффициентами на всю комплексную плоскость.
Лемма 1. При, а & gt- 1 справедливо тождество
, b (С (а) пр w? n (b) = 1,
lV’n) = & lt-•(«•-) npuS"(b) = 0. (14)
^ j=1 nj
Доказательство. Действительно, при? n (b) = 1 утверждение тривиально, так
2тг? ^ 1
как е «=1,
Пусть ?"(& amp-) = 0, тогда е27гг» ^ 1, Далее имеем:
7 П ОС о-b (j+mn) n QO
'(а--)=ЕЕг-V=-Ee" — Е
n / ^'- (j + mn) a na '-
п I ^Aj + mn) a па ^ ^ (L + m
j = 1 m=0 w 7 j=1 m=0 Vn)
n
1
j=1
Доказательство. Рассмотрим функцию
[t]-1
/(()= fe^du= + fe^du
J k=1 ^
, 2−7гг1 «2−7гг —
[t]
+ e2™^{i},
и лемма полностью доказана, ?
Лемма 2. Дрм, а & gt- 0 и? n (b) = 0 справедливо тождество
]е^ 7е2& quot-Ег7"- +e2-^w
J =(«+ !)/ е И~а+2-(15)
11
которая непрерывна для любого? ^ 1 и кусочно дифференцируема во всех точках, кроме натуральных значений аргумента.
Пусть к — натуральное ик& lt-с<-^<-к + 1, тогда в силу формулы интегри-
1
t
рования по частям имеем:
«2−7гг- ?(+
е '--Л т
^"+1
^"+1
Є п
4+1 + (а + 1)
е2^_е2^ Л1ИГ"1 ^¦4-! +е
а+1
С
27гг- 0 — Ь[?] ,
п -Є п | 27Гг^^ Г-Л
+ е & quot-{Ч
?а+2
-СІІ.
Переходя к пределу по д и по с, получим
к+1
р2тгг^
Єп
^"+1
k
к+1 е2пі
м
п -е п
е27гіі^-е27гіп, 2 т —. «{?-. +е & quot- (/С + 1)"+1
м
Є27Г'-п -1
/С& quot- + 1
+ (а + 1)
С п — 1
«2−7гг
Єп
?а+2
{О —
-----сЙ = -
г ь (^ + 1) 27гг — 2ттг^ 2тгг-^-
г п -е ^ е п -е п
Є2,ГІП-1
(к + 1)
а+1
еМп-1 ка+1
к+1 е2
ггШ- 27гг — Гг п — е п
+ (а + 1)
Є п — 1

2тггМ
(і)
?"+2
-ей.
Суммируя по к от 1 до то, получим равенство несобственных интегралов
Єп
¦ Ш
г,'-М
іа+1
оо ел,'-'--ел''-'п, «2тгг^ Г+1
Г ----------------^ е & quot- Ш
сИ = {а + 1) --- ---------------------------сИ
1
?"+2
и лемма полностью доказана.
?
Теорема 10. Для, натуральных и, целых Ь с? га (Ь) = 0 и а, политического продолжения функции I [а, на всю комплексную плоскость справедливы представления
I [ а,-и
Е
е2жг^
Єп
'--1
/
: _____Г5- (]+ -
і"+і аь 2тг г?
? Ь '
е& quot--гп -1
а (а+1)е27Ггі е2, гіп — 1
/
27гг — г, — Ь[?]
^-----^+е2,Гг п {*}
*» + 2
(2п)а-& gt-Г{1 -а) ?
7гг (сс -1) Є 2
ьЕ
его — 1
— 7гг (сс -1)
Є 2
=1 (& quot-*-{#}) КШ)
а & gt- 1, а& gt- 0,
а & gt- - 1, а& lt- 0.
(и)
а
а
с
ь
27гг —
ь
ь
ь
ь
ь
27гг —
еп
1 — а
Доказательство. Аналитическое продолжение у функции I (ск, -) существует в силу предыдущей леммы и свойств периодизированной дзета-функции Гурвица. При, а & gt- 1 утверждение теоремы совпадает с определением функции I {а, ^ Для доказательства второго случая, применив теорему Абеля, получим
ЕОт}
в п ь оо Ш1
. ^27гг- г ^27гг^ 1
7 «I 7, ае ^ е гг — 1
I ск, — = а -----& lt-И=--е----- -п--ш =
гг У У ?"+1 е2^ - 1 У ^а+1
11
пр2жг — г р2−7гг- р2жг —
ае п I е п е п
-ей-
2жг- і / /а+1 р2жг — і
Є п — 1 ^ ь Є п — 1
1
и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при, а & gt- 0,
Третий случай непосредственно вытекает из второго и леммы 2, так как соответствующий интеграл сходится при, а & gt- -1,
Перейдем к доказательству последнего случая. Для этого запишем выражение периодизированной дзета-функции Гурвица в комплексной форме
Ґ п (- -п 00 с2тгг^ 00 -2жг^
/ 1 і і пг (а — 1) х-^ Є п — пг (а — 1) х-^ Є п
С = (2,)~'Г (1 — а) + Е -. (17)
4 7 т= 1 т= 1 /
Суммируя по 1, найдем
і(а^=1. '-?е2'^С («Л) = (21Г)°& quot-'Г (1 — «) х
и / иа ^-'- и / и
І=1
ОО п
тгг (а-І) ^ I ^ ПІ
X I е 2 --- е2? гг& quot- е2? п & quot- +
/ ^^1-а ^
т=1 .7 = 1
о ^ п
г (а-1) ^ I ^ 27гг^"-2тгг^
¦ е 2 & gt- -------- & gt- е «е «
/ ^^1-а ^
т= 1 І=1
ОО г (ск — 1) ^^ 1 -7гг (сс -1)
і 7тг (а — 1) х ^ - пг (а — 1) х ^
= (2тт)" — Г (1- а) 6 2 _ гІгчі-^ +е & quot- 5]
т= 1 '- 1п/'- т=0 '- 1п/'-
и теорема полностью доказана, ?
Полученный результат применим к ещё одному виду рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть
Ґ Ь 00 р27™ —
г («.^ = Е ^ & lt-18)
'- / т=-о
Через ряды Дирихле последнего вида непосредственно выражается гиперболическая дзета-функция целочисленных решёток при, а & gt- 1, если воспользоваться тригонометрическими суммами решёток, а именно, для любой целочисленной Л
?л (т)
& lt-я (ЛН + 1 —? (я, • х,)-° + 1-^2 -(, 7.. т)
х еЛ теZs
1 ___ ___ л2пг (гт'Х)
ЕЕ
detЛ ^ ^ (т 1 • … • т3) с
X еМ (Л) теZs '-
1*
П& lt-*,?|Н
(20)
det Л ^ т& quot- det Л ^ V det Л /
X ем (Л) з=1 т? = -о 3 х еМ (Л) з=1 4 7
где (X) = хз- det Л — целое число (^'- = 1,…, в) для любой точки X = (х1,…, х5) € М (Л).
Теорема 11. Для натрралъных п, целых Ь с? га (Ь) = 0 и аналитического продолжения функции I* (а, но ес? о комплексную плоскость справедливы представления
оо е
Е ---------, & lt-т>-1,
/_У ---г '- '-
-Е-/--------------*гп---------------------------------------& lt-и, сг & gt- О,
е п — 1 ^ Т
оо
& lt-*(<-*±!) Г ?(*Л
2жг —, Л *» + 2 ' '
е П -1 ^
о
1 + 2(2тг)& quot--1Г (1-о-)со8^^ • п1~а Е. 1 .1, ^& lt-0,
т=-о (пт+ь)
где
27тг- (^2т — ^-2яxi^L ^& gt--2'-к1 —
е п I е п — е п + е п — е п I
9(«Лп) = ---------------------д--------------------------+
е п — 1
ЖШ+И -2пгЬЩ г ,
е п — е п I {ь}.
Доказательство. Аналитическое продолжение у функции I* (а, существует так как для неё справедливо следующее представление.
1'-{а'^) = 1(а'-^) + 1 + 1(а'-~1) — (21)
При, а & gt- 1 утверждение теоремы совпадает с определением функции **(«. -)¦ & quot- & quot-
Для доказательства второго случая, применив теорему 10 к равенству (21), получим
Ь Г л2тгг- 2−7гг —
Ь ае п е п, е п
/* (О!, —) — -?--- I ---(Й — -------1-----Ь 1 +
П) е^г- _ I У ?"+1 е2тгг- _ Х
1
пр-2жі- г р-2жі - р-2жі-
аЄ п Є п Є п
— 1 У і& quot-+1 * е_27ГІ» — 1
1
пр2жі - г р2−7гг- р2жг —
аЄ п Є п Є п
с2тгг-^ і /"+1 с2тгг^ і
Є п — 1 и ь Є п — 1
1
°? -2жг^ і ^ 2тггЬ (М + 1) -2тгг^
О! [ Є гт гг 1 О! Г егт гг — е гт гг
-аЬ + --т--------------- = --т------------ ------------------------------СІЇ
~2т: г- і / /оН-127гг- і27гг- і / /л+1
Є п 1 Є п 1 Є п 1
и этот случай доказан, так как последний интеграл абсолютно сходится при а& gt-0
Аналогично получается третий случай:
27 Г г^І 27 Г г- 0 • Ь[?], ^
, оо е и — е и і «2-і: г (4- «. і,
Ц _ «(а + 1) е2?ггп [ е2жіп-і ^ е & quot-, 1,
СК, —) — --------------г---------- / ----------------------------------------СІЇ - --------г------- -|- ІТ
П / р2? ггп — 1 ./ І& quot-+2 р2? ггп — 1
*
I
а (а + 1)Є
— 2пі
п-А Ь [^] -27Гг —
ъ оо е гіТг П -Є г7Тгп
& quot- [ Є-2жІп-1
+ е~2^{Ь}
-2жг — і п1
іа+2
-СІІ -
р-2жі -
Єп
— 2жг — і п1
о- (а + 1) е2™ —
ОО е2жі^-е2жіп
[ е2жі^-1

2пі
т
(і)
2жі -
Єп
1
¦ Ці]
а (а + 1)
2ж і - і
Є п 1
гп -і

іа+2
м
— 2пі
іа+2
(і)
-сіі-
л = а («+11х
Єп
Є27ГІЙ (е27ГІ^-Є27ГІп+е-
• М
X
е2−4-1
, 2пг
ь (М+і)
Є
-2пі
м
(і)
іа+2
-сІЇ.
п
ь
— 27гг —
Ое
п -е
п
е
ь
2пг
О
п
Перейдем к доказательству последнего случая. Так как при? га (Ь) = 0 справед-
ливо равенство { - = 1 — то при, а & lt- 0 получим
Г (аЛ)=1(аЛ)+1+1(а,-Ь) =
п п п
7гг (а-1) оо -7гг (а-1)
в 2 у — в 2
(21г)"-1Г (1-а) V----- -------1-Ч-У'----- -------г- + !+
ОО 7гг (д-1) оо -7гг (а-1)
ы^га-а'-^ 62 ^ е 2
+ (27г)& quot-_1Г (1 — а) V--------------------------------------------г- = 1 +
51-а:
п.
оо 7гг (а-1) оо -7гг (а-1)
__1 7гг (сс -1) _ -7гг (сс -1)
е 2 ^ е 2
+ 5] 7 Г 1-а+Х]
= 1 + (2п)а-1Г (1 — а) Заметим, что
п)) т=-о I п
^ 7гг (а -1) оф -7гг (а -1) ^
е 2 ^ е 2
Е т==^+Е
('- ----------- 1 -ОС / ^ /------ 1 -ОС
т+{-п}) т=-00{т+{^}))
1 -а
п1
т=-ооТП Т { ~ т=-оо (ТП ~~ { - и т=-оо («Ь Ь)
& gt-му
Г Г а, = 1 + 2(2тт)а-1Г (1 -а) сое ^ ~ ^ • гг1"& quot- V п2
'- '- т — - г
т=_оо упт + 6)
1-а
и теорема полностью доказана. ?
Замечание. Последнее равенство не изменится, если его переписать в
виде
о
1 -г
п
г (& lt-*,-)= 1 + 2(2тг)"-1Г (1 -а) С08 ж{а 1} • п1-? ---------------------------- ,
V п/ 2 т=-оо, (шв + & amp-)
пт + Ь=0
которое остается верным и при? п (Ь) = 1:
0 1, 1, о^_а -^ -Л _п (а — 1) ^ 1
I* (а,-'-] =1 + 2((а) = 1 + 2(2тт)"-1Г (1 -а) со8 ^^ V -?
п 2 т1
4 '- т- 1
= 1 + 2(27г)а~1Г (1 -а) со8 ^ ~ ^ • п1~а ^
т = - ^& gt-, пт = 0
/- 1 — СК
(пт)
5 Аналитическое продолжение в случае целочисленных решеток
Теперь мы получим явный вид (Л | а) в левой полуплоскости для произ-
Л
решётка Л (р), которая определяется соотношением
Л (р) = det Л ¦ Л*. (22)
Для любой целочисленной решётки Л её присоединенная решётка Л (р) также является целочисленной. Так как эти решётки — частные случаи декартовых решёток, то как известно существуют аналитические продолжения
(я (Л | а) и (я (Л (р) | а)
па всю комплексную а-плоскость, за исключением точки, а = 1, в которой у них полюс порядка в.
Для удобства введем следующие обозначения:
N = det Л, М (p)(Л) = detЛ ¦ М (Л), М*(Л) = Л П [0^Л)'. (23)
Ясно, что справедливы следующие разложения:
Л= у (X + ^'), Л (р) = у (X +). (24)
хем *(Л) хем (р)(Л)
Через будем обозначать множество целочисленных векторов ] = (^'-1, ^'-2, …, ^8) таких, что координаты ^'-1, ^'-2, …, ^ являются перестановкой чисел 1, 2, …, в с дополнительными условиями упорядоченности ^ & lt-2 & lt-.. & lt- ^ ^4+1 & lt- ^*+2 & lt- … & lt- Л- Нетрудно видеть, что 14−3| = С'.
Пусть ^ € 3^. Через П (^4) будем обозначать координатное подпространство
ПШ = {х 1 3 = 0 ь 1… & gt- в)}.
Если положить … ,^^… ,^), то ^ м и
К' = пШ®пй*)
— разложение в прямую сумму координатных подпространств. Заметим, что если через (Л + а)-1) и (Л + а)-2) обозначаются проекции сдвинутой решётки
па кооридантные подпространства П^) и П (^*) в соответствии с разложением пространства в прямую сумму этих координатных подпространств, а её пересечения с координатными подпространствами через (Л + а) — = (Л + а) Р| П (^) и
(Л+а)-* = (Л+а) П П (-*), то вообще говоря (Л+а)(1) = (Л+а) — и (Л+а)(2) = (Л+
а) з*. Равенство возможно тогда и только тогда, когда Л+а = (Л!+01) х (Л2 + а2), Л1 + а! = (Л + а)3 и Л2 + а2 = (Л + а)3*.
Напомним, что
«^. 2 Г (1 — а). па
& quot-(а) = 1й0^8тТ
и для произвольной целочисленной решётки Л дзета-функция ((Л | а) в правой полуплоскости задается равенством
С (Л 1 а) = X! |х1
ХеЛ, N (Х)=0
¦ ж8| а.
Л
в левой полуплоскости, а & lt- 0 справедливо функциональное уравнение
& lt-(Л | а) = ^(М (а)Лг1-«)'-& lt- (Лм 1 — а). (25)
Доказательство. Из формулы (19) и теоремы 11 легко следует
х ем (Л) з=1 4 4 7
^ Е П (2(2тГГ-1Г (1-а)со8^у^№ 1-«х
X ем (Л) 3=1 '-
~ 1 1 Е / 4 1-а =м Е (М (а)^-«)вх
т = -^& gt-,
N-т+Ь^ (Х)=0
/------------ 1-Л дг
¦ т + (ж)^ у хем (Л)
* Е 1
т^, т^ = - ^
N -т- + Ь~ (х)=0
(. /V • га! + Ъ^х)… N ¦ т3 + Ь3(х)^
1-а
^(М (а)Л'-1-«)* & lt- (Л& lt-*"| 1 — а). (26)
?
Согласно предыдущим обозначениям (Л)з = Л Р| Щ^) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Л3 будем обозначать-мерную решётку, которая получается из решётки (Л)зг отбрасыванием у каждой точки в — Ь нулевых координат. Таким образом Л (р) — & quot-присоединеная"- ^-мерная
Зг
решётка.
Теорема 13. Для, гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости, а & lt- 0 справедливо функциональное уравнение
Ся (л | а)=? КЯ-& quot-? N ,-1С (л?& gt-|1 — а).
^=1 7* -
(27)
Доказательство. Из определения гиперболической дзета-функции решётки и определения дзета-функции решётки следует
*=1
а
(28)
Применяя к каждому слагаемому в правой части предыдущую теорему, получим доказываемое утверждение, ?
6 Аналитическое продолжение в случае декартовых решеток
Случай произвольной декартовой решетки Л — 0(4^…, 4) Л0, где Л0 — произвольная простая решетка, а 0(4,…, 4) _ диагональная матрица с 4, …, 4 & gt- 0, более сложен для получения яв ного вида, ?я (Л | а) в левой полуплоскости, при этом нам потребуются присоединенные решётки Л0р) — det Л0 • Л0 и Л= det Л • А*. Из равенств det Л = (4 • • • 4) сіеі Л0, Л* = О …, Л?
следует равенство = (4 … 4)-О ¦ ¦ ¦, ^
Для удобства введем следующие обозначения:
N0 — detЛo, М (р)(Л0) — detЛo • М (Л0), М*(Л0) — Л0 П [О^є^)5, (29)
из которых следует равенство N — 41… 45Я0,
Ясно, что справедливы следующие разложения:
Л0 — и (X+N0^), Л0Р) — и (X + N0^). (30)
ХеМ *(Ло) хем (р)(Л0)
Пусть ^ є 4)5. Через П^, 4) при 4 — (41,…, 48), 41,…, 48 & gt- 0 будем обозначать координатный брус
Имеет место следующее разбиение пространства на 25 неперееекающихея координатных брусов
«'- = и и
В соответствии с этим разбиением получаем представление гиперболической дзета-функции решетки в виде теоремы 14.
Напомним, что
«. 2 Г (1 — а). па
м («) = 1^япт
и для произвольной декартовой решётки Л вида. Л = Д (4,…, 4) Л0 дзета-функция ((Л | а) в правой полуплоскости задается равенством
С (Л 1 а) = Е |хі
хЄЛ, N (Х)=0
¦ ж8| а.
Дальнейшие осложнения возникают из того, что выражение гиперболической дзета-функции декартовых решёток Л = Д (4,…, 4) Л0 при о & gt- 1 через

ряды Дирихле /* а, — более сложное, чем формула (19). Введем при (I & gt- О
V п/
аналитическую на всей комплексной а-плоскости функцию г [ а, -, с? ] с поп
мощью равенства
г I а,
6 = V е2т^ (=_________-^ = У е2жг^ (1____________________________________-). (31)
п) ^ V ((Іт)а & lt-іата) | (1ата '-
& lt-1
т=-оо '- - т& lt--
Теорема 14. Для декартовой решетки Л = Д (4,…, 4) Л0, где Л0 — простая, релиетка, при, а & gt- 1 для, гиперболической дзета-функция (я (Л | а) справедливо равенство
Ся (Л|а) + 1 = -г-т- V (32)
41 1 — аеіЛо ^ 11 V V йеіЛо 3 (В V ЛеіАо)) К '
х ЄМ (Л0) 3 = 1 44 0 / 3 0//
где 63 (ж) = ж^- ёе1 Л0 — целое чи ело = 1,…, в) для, любой т очки, ж = (х1,… ,
Є М (Л0) —
Доказательство. Действительно,
6Ао (т)
х ЄЛ тЄй
і ___ л2пг (т, ж)
Е Е
і 5 ^ л2пгт, х,'
Е П Е (зз)
Так как
^ л2пгт, х, ____ л2пгт, х, ___ л2пгт, х,
О и и О J J о ^ ^
~Т^Г = л"^г& quot- +
4т7, 4т7, 4 т,
ті = -оо і і Н& lt-^7 Н^іт
у- ^2^rimjXj + у Є2т^ = г (Ь3(х) + 2. г Л 6, (ж) (34)
й°-т^ ' det А0 ') сі& quot- ' det Ас '- '
Н& lt-ат Н& gt-ат '- '-
где 6, (ж) = ж, det Л0 — целое число (^'- = 1,…, в) для любой точки ж = (ж1-… ,
ж5) Є М (Л0), то из (33) и (34) вытекает
(я (Л|сї) + 1 = -г-т- У П^^,^, йЛ+і. г ('-а,^'-)У (35)
йе’Л"г€вд»),-Н V йеІЛ"' V Щ У '
что и доказывает утверждение теоремы,
Л=
Д (4,…, 4) Л0, где Л0 — простая решётка, в левой полу плоскости, а & lt- 0 справедливо функциональное уравнение
& lt-(Л | а) = і(М (а)ЛГ1-«)'& lt- (Л"| 1 — а). (36)
Доказательство. Из однородности дзета-функции следует:
с (Л | а) = (4 … ^)-Ч (Л0|а),
С (Л (р) | 1 — а) = (І1… 4)(а-1)(5−1)С (Л0Р)|а). (37)
Положим Д = 41… 4, тогда N = Д • N0 Воспользуемся функциональным уравнение для дзета-функции целочисленной решетки, получим
«Л I а) = Д-««Ло|а) = 0-'--(М (а)М^У ((а1*| 1 — а) = = ІГ"^(Л/(а)Лг1_'& gt-І>-««1)'С (л.
1 — а =
л-ос^ { ]/г/^, ат1-& lt-% пск-1Л 8 /¦ (^(р)
1 '- V 0
= ^(М (а)ЛГ1_а)в?& gt-(а~1)(в1)С (АоР) I 1 — а) =
= ^(М (а)Ж1-«)Ч (А (р)|1-»)). (38)
?
Согласно предыдущим обозначениям (Л)з = Л Р| И (^) — пересечение решётки с координатным подпространством. Через Л^ будем обозначать-мерную решётку, которая получается из решётки (Л)^ отбрасыванием у каждой точки ^ -? нулевых координат. Таким образом Л^р) — & quot-присоединеная"--мерная решётка.
Теорема 16. Для, гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки Л в левой полуплоскости, а & lt- 0 справедливо функциональное уравнение
Ся (л 1 а) — -1 +
1
ёе1 Л0
Е П
X ЄМ (Ло) і=1
6? (х) 1
г | а, ----, (і-: + --Ь
det Л0) (Щ
2(2п)а-і. п (а — 1) п. 1-а
Н----------Г (1 — а) сое--- ----^еіЛ0
=-оо Л0т + 6? (ж)) у
(39)
Доказательство. Согласно теореме 14 в правой полуплоскости, а & gt- 1 справедливо равенство
Ся (Л|а) + 1
Все функции в правой части апалитичпо продолжаются на всю комплексную а-плоскость. Поэтому гиперболическая дзета-функция декартовой решетки Л — Д (4,…, 4) Ло аналитически продолжается на всю комплексную а-плоскость с сохранением равенства (40). Подставляя в правую часть функциональ-
Ъ](х)
ное уравнение для /* а
ёе1 Л0
получим доказываемое утверждение.
?
Замечание. Полученное функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции декартовых решеток оказалось существенно более сложным чем функциональное уравнение для дзета-функции декартовых решеток и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток. Поэтому его нельзя считать окончательным и необходимы дальнейшие исследования с целью его упрощения.
В заключение выражаю благодарность своему научному руководителю профессору Чубарикову Владимиру Николаевичу за неоценимую помощь в работе.
1
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
111 Воронин С. М., КарацубаА. А. Дзета-функция Римана. М.: ФизМатЛит, 1994.
[2] Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения. — Тула: Изд-во Туп, гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. — 195 с.
[3] К, а рапу ба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука. ФизМатЛит, 1983.
[4] Коробов И, М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004,
[5] Титчмарш Е, К, Теория дзета-функции Римана, М.: Из-во И, Л, 1953,
[6] Чандрасекхаран К, Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.
[7] Чудаков И, Г, Введение в теорию Ь-функций Дирихле, — М.: ОГИЗ Гоете-хиздат, 1947,
[8] Добровольский М, И, Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток, // ДАН, Т. 412, № 3, Январь 2007, С. 302 — 304.
[9] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 18 — 23.
Поступило 21. 11. 2010

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой